Fractales y caos en las finanzas.

Fractales y caos en las finanzas.

Hemos sido rebasados por nuestra propia creación. El ser humano ha buscado el orden en la naturaleza desde que se tiene memoria y para ello ha acudido a modelos, con ellos se pretende hacer predicciones, obteniendo así cierta seguridad.  Con las acciones hemos hecho lo mismo, pero al hacerlo nos hemos enfrentado a una terrible decepción.

La hipótesis de mercados eficientes es la siguiente: Toda la información es ampliamente disponible y se refleja en los precios de las acciones; i.e. el precio de las acciones esta en equilibrio y refleja toda la información disponible en un momento dado.

Usando esta hipótesis se utiliza un modelo basado en una concepción lineal de la sociedad. La primer falla de esta hipótesis se presenta cuando observamos que para que esto se cumpla se necesita que exista competencia perfecta. En la BMV, el mercado primario tiene menos de 200 emisoras y 28 casas de bolsa, y no hay camino fácil a la entrada como emisor, existen muchas restricciones y  requisitos. En realidad, sólo las empresas grandes de reconocido prestigio y que demuestren capacidad económica, técnica y moral, tienen condiciones para entrar.

Nuestra hipótesis no se cumple, y hemos aprendido con el tiempo que la dinámica de los precios no es lineal, con lo que se cae el análisis clásico de los mercados bursátiles.  Pero esto no es motivo para resignarse, Mandelbrot lo sabía perfectamente y decidió encontrar una solución a este problema. Tras investigar los precios del algodón notó que el comportamiento anual, mensual y diario era similar, le vino una gran idea a la mente y así es como regaló al mundo una herramienta muy poderosa de análisis: la geometría fractal.

¿Qué es un fractal?  Se dice que un gráfico obtenido por un recorrido aleatorio es fractal si sus patrones de formación se repiten en todas sus escalas. Esto es justo lo que Mandelbrot notó en su investigación en el precio del algodón. 

Al analizar los precios de una acción se pensaba que la distribución de probabilidad de los rendimientos debe ser aproximadamente Normal.  Esto se ha intentado demostrar, pero nunca se ha logrado. Dos posibilidades han sido ampliamente ignoradas: Que los mercados y activos o valores sean independientes, y que el modelo del inversionista racional no es nada realista. Las acciones no se comportan de forma ordenada o coherente como predice el modelo, pues un inversionista puede no saber interpretar toda la información a su alcance y simplemente seguir tendencias utilizando información del pasado.  Estas consideraciones deben hacerse aunque la matemática se complique. Dado lo anterior observamos que el humano es un ente no lineal.

En 1952, Markowitz propuso que entre mas volátil sea una acción, será percibida como más riesgosa. La volatilidad o el riesgo se toman como la media estadística de la desviación estándar de los rendimientos, o de su varianza.  La idea es que la varianza mide  la dispersión de los rendimientos, entre más grande sea este número, mayor es la dispersión y habrá grandes altibajos en los rendimientos, y como consecuencia el activo en cuestión se considera riesgoso. Sin embargo, se debe considerar que esto solamente funciona si  el sistema analizado es aleatorio. Teniendo esto en cuenta se ha visto en muchos estudios que el pensar que la distribución típica de un mercado bursátil no es una Normal.

Como ya lo mencionamos antes, la hipótesis asegura que los precios actuales reflejan toda la información disponible al publico inversionista, únicamente nueva información puede alterar los precios. Si esto es cierto, los mercados seguirán una caminata aleatoria. La hipótesis asegura que el movimiento de precios de un día no se encuentra relacionado con el día previo, dado que solamente nueva información genera cambios, esto era fundamental para que funcionara el teorema central del límite en los mercados capitales y este teorema es fundamental para aplicar el calculo probabilista y los modelos lineales. Pero como ya vimos, las cosas no funcionan como lo esperábamos, la función no es una normal, no podemos aplicar el teorema central del límite y nuestros modelos lineales serán de poca utilidad.

Al estudiar el comportamiento vemos una caminata aleatoria sesgada. Hurst (en los 40´) y posteriormente Mandelbrot (en los 60´) analizaron las caminatas aleatorias sesgadas, Mandelbrot las llamo Movimientos Brownianos Fraccionarios, nosotros les podemos llamar Series de Tiempo Fractales.

En los gráficos construidos emulando a los gráficos bursátiles se utiliza un número concreto entre 0 y 1, al que se le llama probabilidad fractal, que al ser multiplicado por una longitud que se tomará como patrón nos dará la esperanza matemática asociada a dicho tramo.  El 0,618 se ha tomado como dicho número. Lo maravilloso es que en gráficos fractales el número que se encuentra por deducción matemática es muy parecido, resulta ser 0,636, que coincide con el valor medio de las franjas de variación observadas en muchísimos gráficos bursátiles.

En conclusión vemos que tras entender que los mercados bursátiles carecen de orden y nuestra hipótesis no es real surge la necesidad de utilizar herramientas de teoría del caos y la geometría fractal, con estas herramientas se han creado métodos con los que se obtienen mejores resultados, mejores incluso que al utilizar métodos económicos (como economía y series de tiempo). Con estos métodos, como las series de tiempo fractal, hemos podido considerar la complejidad humana y  características más realistas de un mercado bursátil.

La complejidad de los modelos y de las herramientas ha evolucionado y con ellas nuestra capacidad de análisis, sin embargo ningún modelo es perfecto, la naturaleza de las cosas, en este caso de los mercados bursátiles,  aun tiende a un estado caótico que no comprendemos y que va más allá de todo control que quisiéramos tener sobre ellas; las finanzas siempre tendrán en ellas un arte, ese “feeling” al jugar con ellas que las vuelve aún mas interesantes.

Bruno Martínez Warnholtz

Bibliografía

Ernesto Teobaldo Gálvez Medina. Análisis Fractal del Mercado de Valores en México. Instituto Politécnico Nacional. Tesis para doctorado en ciencias administrativas. 2005.

Rogelio Ojeda Suárez. Métodos de predicción para series de tiempo fractales. Universidad de las Américas Puebla. Tesis para obtener Licenciatura en Matemáticas y Economía. 2004