Fractales
y caos en las finanzas.
Hemos sido rebasados por
nuestra propia creación. El ser humano ha buscado el orden en la naturaleza
desde que se tiene memoria y para ello ha acudido a modelos, con ellos se
pretende hacer predicciones, obteniendo así cierta seguridad. Con las acciones hemos hecho lo mismo, pero
al hacerlo nos hemos enfrentado a una terrible decepción.
La hipótesis de mercados
eficientes es la siguiente: Toda la información es ampliamente disponible y se
refleja en los precios de las acciones; i.e. el precio de las acciones esta en
equilibrio y refleja toda la información disponible en un momento dado.
Usando esta hipótesis se
utiliza un modelo basado en una concepción lineal de la sociedad. La primer
falla de esta hipótesis se presenta cuando observamos que para que esto se
cumpla se necesita que exista competencia perfecta. En la BMV, el mercado
primario tiene menos de 200 emisoras y 28 casas de bolsa, y no hay camino fácil
a la entrada como emisor, existen muchas restricciones y requisitos. En realidad, sólo las empresas
grandes de reconocido prestigio y que demuestren capacidad económica, técnica y
moral, tienen condiciones para entrar.
Nuestra hipótesis no se
cumple, y hemos aprendido con el tiempo que la dinámica de los precios no es
lineal, con lo que se cae el análisis clásico de los mercados bursátiles. Pero esto no es motivo para resignarse,
Mandelbrot lo sabía perfectamente y decidió encontrar una solución a este
problema. Tras investigar los precios del algodón notó que el comportamiento
anual, mensual y diario era similar, le vino una gran idea a la mente y así es
como regaló al mundo una herramienta muy poderosa de análisis: la geometría
fractal.
¿Qué es un fractal? Se dice que un gráfico obtenido por un
recorrido aleatorio es fractal si sus patrones de formación se repiten en todas
sus escalas. Esto es justo lo que Mandelbrot notó en su investigación en el
precio del algodón.
Al analizar los precios de
una acción se pensaba que la distribución de probabilidad de los rendimientos
debe ser aproximadamente Normal. Esto se
ha intentado demostrar, pero nunca se ha logrado. Dos posibilidades han sido
ampliamente ignoradas: Que los mercados y activos o valores sean
independientes, y que el modelo del inversionista racional no es nada realista.
Las acciones no se comportan de forma ordenada o coherente como predice el
modelo, pues un inversionista puede no saber interpretar toda la información a
su alcance y simplemente seguir tendencias utilizando información del
pasado. Estas consideraciones deben
hacerse aunque la matemática se complique. Dado lo anterior observamos que el
humano es un ente no lineal.
En 1952, Markowitz propuso
que entre mas volátil sea una acción, será percibida como más riesgosa. La
volatilidad o el riesgo se toman como la media estadística de la desviación
estándar de los rendimientos, o de su varianza.
La idea es que la varianza mide
la dispersión de los rendimientos, entre más grande sea este número,
mayor es la dispersión y habrá grandes altibajos en los rendimientos, y como
consecuencia el activo en cuestión se considera riesgoso. Sin embargo, se debe
considerar que esto solamente funciona si
el sistema analizado es aleatorio. Teniendo esto en cuenta se ha visto
en muchos estudios que el pensar que la distribución típica de un mercado
bursátil no es una Normal.
Como ya lo mencionamos
antes, la hipótesis asegura que los precios actuales reflejan toda la
información disponible al publico inversionista, únicamente nueva información
puede alterar los precios. Si esto es cierto, los mercados seguirán una
caminata aleatoria. La hipótesis asegura que el movimiento de precios de un día
no se encuentra relacionado con el día previo, dado que solamente nueva
información genera cambios, esto era fundamental para que funcionara el teorema
central del límite en los mercados capitales y este teorema es fundamental para
aplicar el calculo probabilista y los modelos lineales. Pero como ya vimos,
las cosas no funcionan como lo esperábamos, la función no es una normal, no
podemos aplicar el teorema central del límite y nuestros modelos lineales serán
de poca utilidad.
Al estudiar el
comportamiento vemos una caminata aleatoria sesgada. Hurst (en los 40´) y
posteriormente Mandelbrot (en los 60´) analizaron las caminatas aleatorias
sesgadas, Mandelbrot las llamo Movimientos Brownianos Fraccionarios, nosotros
les podemos llamar Series de Tiempo Fractales.
En los gráficos construidos
emulando a los gráficos bursátiles se utiliza un número concreto entre 0 y 1,
al que se le llama probabilidad fractal, que al ser multiplicado por una
longitud que se tomará como patrón nos dará la esperanza matemática asociada a
dicho tramo. El 0,618 se ha tomado como
dicho número. Lo maravilloso es que en gráficos fractales el número que se
encuentra por deducción matemática es muy parecido, resulta ser 0,636, que
coincide con el valor medio de las franjas de variación observadas en
muchísimos gráficos bursátiles.
En conclusión vemos que tras
entender que los mercados bursátiles carecen de orden y nuestra hipótesis no es
real surge la necesidad de utilizar herramientas de teoría del caos y la
geometría fractal, con estas herramientas se han creado métodos con los que se
obtienen mejores resultados, mejores incluso que al utilizar métodos económicos
(como economía y series de tiempo). Con estos métodos, como las series de
tiempo fractal, hemos podido considerar la complejidad humana y características más realistas de un mercado
bursátil.
La complejidad de los
modelos y de las herramientas ha evolucionado y con ellas nuestra capacidad de
análisis, sin embargo ningún modelo es perfecto, la naturaleza de las cosas, en
este caso de los mercados bursátiles,
aun tiende a un estado caótico que no comprendemos y que va más allá de
todo control que quisiéramos tener sobre ellas; las finanzas siempre tendrán en
ellas un arte, ese “feeling” al jugar con ellas que las vuelve aún mas
interesantes.
Bruno Martínez Warnholtz
Bibliografía
Ernesto Teobaldo Gálvez Medina. Análisis Fractal del
Mercado de Valores en México. Instituto Politécnico Nacional. Tesis para
doctorado en ciencias administrativas. 2005.
Rogelio Ojeda Suárez. Métodos de predicción para series
de tiempo fractales. Universidad de las Américas Puebla. Tesis para obtener
Licenciatura en Matemáticas y Economía. 2004
